360极速模式和兼容模式是两种不同的浏览器设置，用于优化网页加载速度和兼容性。如果你需要切换这两种模式，可以通过以下步骤进行操作：
1. 打开360浏览器，点击左上角的菜单按钮（三条横线）。
2. 在下拉菜单中选择“设置”。
3. 在设置页面中，找到“高级设置”或“高级选项”部分。
4. 在高级设置或高级选项部分，找到“启动模式”或“启动方式”选项。
5. 在这里，你可以选择“极速模式”或“兼容模式”。
6. 选择完毕后，点击“确定”或“应用”按钮，以保存你的设置。
至于一键进入政企老网站入口，这通常需要通过浏览器插件或扩展程序来实现。以下是一些可能的方法：
1. 使用浏览器插件：有一些浏览器插件可以帮助你一键访问特定的网站，例如“一键访问老网站”等。这些插件通常可以在浏览器的扩展商店中找到。
2. 使用浏览器扩展：有些浏览器支持扩展程序，你可以在开发者模式中安装和使用这些扩展程序。例如，Chrome浏览器有一个名为“Easy Access to Old Websites”的扩展程序，可以帮助你一键访问老网站。
请注意，使用这些方法可能需要一定的技术知识，并且可能会影响你的浏览器安全和隐私设置。在使用任何插件或扩展之前，请确保了解其功能和风险。